SIMMETRIA ASSIALE

Simmetria assiale

Definizione
La simmetria assiale di asse: ax + by + c = 0 è una trasformazione che ad ogni punto P del piano associa un punto P’ tale che il segmento PP’ è perpendicolare all’asse e il punto medio M di PP’ appartiene all’asse.

Dalla definizione possiamo dedurre immediatamente le equazioni della trasformazione esprimendo le condizioni imposte dalla definizione in termini di coordinate:

Per eplicitare le equazioni della trasformazione si dovrà risolvere tale sistema rispetto a x’ e y’ (nei casi più semplici operare per sostituzione, altrimenti è consigliabile il metodo di Cramer).

Proprietà

  1. Tutti i punti dell’asse di simmetria sono uniti: l’asse è quindi una retta unita luogo di punti uniti.
  2. Tutte le rette perpendicolari all’asse sono unite, ma non costituite da punti uniti.
  3. La simmetria assiale è involutoria, pertanto le equazioni della trasformazione e quelle della sua inversa sono formalmente identiche salvo lo scambio apice ↔ non apice (valgono le stesse considerazioni già viste per la simmetria centrale)
  4. La simmetria assiale è un’isometria.
  5. La simmetria assiale è un’isometria inversa.
  6. La simmetria assiale, come tutte le isometrie, conserva le relazioni di perpendicolarità e parallelismo.
  7. Si può dimostrare che componendo due simmetrie assiali rispetto ad assi perpendicolari si ottiene una simmetria centrale, con centro nel punto d’intersezione tra i due assi.
  8. Dal punto di vista analitico, si può verificare che le equazioni di una simmetria assiale sono del tipo:

    In particolare se l’asse passa per l’origine i termini noti si annullano.

Esercizi (verifica delle proprietà enunciate)

  1. Determinare le equazioni della simmetria di asse 2x – y – 2 = 0.
    Soluzione
  2. Determinare i punti uniti della precedente trasformazione.
    Soluzione
  3. Verificare che la generica retta perpendicolare all’asse è unita.
    Suggerimento: dopo aver scritto l’equazione del fasco improprio con coefficiente angolare uguale all’opposto del reciproco di quello dell’asse, determinare l’equazione della retta trasformata …
  4. Verificare analiticamente che la simmetria assiale è involutoria.
    Suggerimento: comporre la immetria assialedell’esercizio 1 con se stessa verificando che si ottiene la trasformazione identica
  5. Dato il triangolo di vertici A(-1 , 1) , B(1 , 0) , C(2 , 2 ), determinarne il simmetrico rispetto all’asse 2x – y – 2 = 0 (utilizzare le equazioni dell’esercizio 1).
    Rappresentare graficamente l’asse ed entrambi i triangoli, verificando che non si mentiene l’orientamento dei punti.
    Determinare le lunghezze AB ed A’B’, verificando che sono uguali.
  6. Utilizzando le equazioni della simmetria dell’esercizio 1, determinare le simmetriche delle rette y = x e y = x – 3 , verificando che anche le rette trasformate risultano tra loro parallele.

  7. NEL GIOCO DEL LOTTO :

  8. Questo tipo di simmetria , ha delle particolarità, che se rispettate  potenziano l’affidabilità della sortita.
    1) figure geometriche proiettate in modo isotopo sull’asse centrale ( vedi i due triangoli sulla figura sotto)
    2) le chiusure  nel caso sotto il 12 devono essere posizionate sull’asse di simmetria
    3) figure geometriche uguali ricorrenti , vedi quei rombi piegati
    4)
    5)
    Mi permetto di evolvere la figura di
    @antonio73

    con la sortita del 12 , abbinato in terzina ai numeri sopra , sulla ruota della NAZIONALE

SIMMETRIA ASSIALE

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