Simmetria assiale
Definizione
La simmetria assiale di asse: ax + by + c = 0 è una trasformazione che ad ogni punto P del piano associa un punto P’ tale che il segmento PP’ è perpendicolare all’asse e il punto medio M di PP’ appartiene all’asse.
Dalla definizione possiamo dedurre immediatamente le equazioni della trasformazione esprimendo le condizioni imposte dalla definizione in termini di coordinate:
Per eplicitare le equazioni della trasformazione si dovrà risolvere tale sistema rispetto a x’ e y’ (nei casi più semplici operare per sostituzione, altrimenti è consigliabile il metodo di Cramer).
Proprietà
- Tutti i punti dell’asse di simmetria sono uniti: l’asse è quindi una retta unita luogo di punti uniti.
- Tutte le rette perpendicolari all’asse sono unite, ma non costituite da punti uniti.
- La simmetria assiale è involutoria, pertanto le equazioni della trasformazione e quelle della sua inversa sono formalmente identiche salvo lo scambio apice ↔ non apice (valgono le stesse considerazioni già viste per la simmetria centrale)
- La simmetria assiale è un’isometria.
- La simmetria assiale è un’isometria inversa.
- La simmetria assiale, come tutte le isometrie, conserva le relazioni di perpendicolarità e parallelismo.
- Si può dimostrare che componendo due simmetrie assiali rispetto ad assi perpendicolari si ottiene una simmetria centrale, con centro nel punto d’intersezione tra i due assi.
- Dal punto di vista analitico, si può verificare che le equazioni di una simmetria assiale sono del tipo:
In particolare se l’asse passa per l’origine i termini noti si annullano.
Esercizi (verifica delle proprietà enunciate)
- Determinare le equazioni della simmetria di asse 2x – y – 2 = 0.
Soluzione - Determinare i punti uniti della precedente trasformazione.
Soluzione - Verificare che la generica retta perpendicolare all’asse è unita.
Suggerimento: dopo aver scritto l’equazione del fasco improprio con coefficiente angolare uguale all’opposto del reciproco di quello dell’asse, determinare l’equazione della retta trasformata … - Verificare analiticamente che la simmetria assiale è involutoria.
Suggerimento: comporre la immetria assialedell’esercizio 1 con se stessa verificando che si ottiene la trasformazione identica - Dato il triangolo di vertici A(-1 , 1) , B(1 , 0) , C(2 , 2 ), determinarne il simmetrico rispetto all’asse 2x – y – 2 = 0 (utilizzare le equazioni dell’esercizio 1).
Rappresentare graficamente l’asse ed entrambi i triangoli, verificando che non si mentiene l’orientamento dei punti.
Determinare le lunghezze AB ed A’B’, verificando che sono uguali. - Utilizzando le equazioni della simmetria dell’esercizio 1, determinare le simmetriche delle rette y = x e y = x – 3 , verificando che anche le rette trasformate risultano tra loro parallele.
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NEL GIOCO DEL LOTTO :
- Questo tipo di simmetria , ha delle particolarità, che se rispettate potenziano l’affidabilità della sortita.
1) figure geometriche proiettate in modo isotopo sull’asse centrale ( vedi i due triangoli sulla figura sotto)
2) le chiusure nel caso sotto il 12 devono essere posizionate sull’asse di simmetria
3) figure geometriche uguali ricorrenti , vedi quei rombi piegati
4)
5)
Mi permetto di evolvere la figura di @antonio73con la sortita del 12 , abbinato in terzina ai numeri sopra , sulla ruota della NAZIONALE
SIMMETRIA ASSIALE
